Aliquot talfølger

Jeg læste om et uløst problem i matematikken:

“Ender alle aliquot talfølger i et primtal, et perfekt tal eller et sæt af enten amicable eller sociable numbers?”

Tænker ikke lige at løse det her lørdag aften, men synes konceptet i “aliquot sequences” åbner op for arbejde med en masse spændende tal, talfamilier og talpar og derfor er værd at nævne. Jeg undskylder med det samme for at blande danske og engelske betegnelser skødesløst – håber jeg har nogenlunde styr på matematikken alligevel.

Aliquot sequences fremkommer, når man kigger på summen af et tals divisorer (undtaget tallet selv).

Aliquot sequencen af 10 er følgende:

σ(10) = 5 + 2 + 1 = 8

σ(8) = 4 + 2 + 1 = 7

σ(7) = 1

σ(1) = 0 (da 1 er tallet selv)

Længden af denne aliquot sequence siges at være 4, da der er 4 beregninger før den “går i 0”.

Jeg har lige skrevet om Venskabstal herinde, der er summen af den andens divisorer (undtaget tallet selv). Mit yndlingseksempel var talparret 220 og 284.

σ(220) = 284

σ(284) = 220

og sådan kunne man forsætte forevigt i et loop med kun de to tal.

Det er selvfølgelig særligt fint med sådan et to-tals-loop, som amicable numbers (venskabstallene) er, men hvad så hvis loopet er større end bare to tal, der er summen af hinandens divisorer? Hvis loopet er større, men trods alt er der, kaldes det sociable numbers. Et eksempel på et sociable number er 12496. Efter 5 beregninger og 4 andre sociable numbers er vi tilbage til en divisorsum på 12496. Vennegruppen er altså lidt større her. For tallet 14316 er aliquot sequencen på 28 forskellige sociable numbers, der kører i et loop. Lidt sjovt, at loopets længden for det kæmpe tal 805.984.760 kun er 9.

Nogle tal bliver aldrig summen af et andet tals divisorer, f.eks. 5. Alle hele positive tal har 1 som divisor, og i at have en sum på 5 mangler altså 4. Men alle tal, der har 4 som divisor, har også 2 som divisor, og derfor fremkommer divisorsummen 5 aldrig. Tal, der aldrig kan fremkomme som divisorsum kaldes untouchable numbers (urørlige). På en eller anden måde lidt ensomme tal i denne aliquot-sammenhæng. De første af de urørlige tal er følgende: 2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162 og 188. Et andet ubesvaret spørgsmål i matematikken er, hvorvidt der findes andre ulige tal end 5 i denne talfamilie af urørlige tal. Den løser jeg HELLER IKKE lige i aften…

Tal som er summen af sine EGNE divisorer (pånær tallet selv selvfølgelig) kaldes perfekte tal. Det er f.eks. tallet 6.

σ(6) = 3 + 2 + 1 = 6

De første 4 perfekte tal er 6, 28, 496 og 8128.

En anden talfamilie, der er forholdsvis stor kaldes deficient numbers. Det er tal, hvis sum af egne divisorer (pånær tallet selv) er mindre end tallet selv. Eksempel:

σ(14) = 1 + 2 + 7 = 10     og 10 < 14

Tallets “deficiency” er forskellen mellem tallet selv og divisorernes sum. I dette tilfælde: 14-10 = 4. Tallet 14’s deficiency value er altså 4.

For at slutte næsten, hvor jeg startede med venskabstal (amicable numbers) vil jeg afslutte med betrothed numbers eller quasi-amicable numbers, som de også kaldes. De er også en slags talvenner. Det er talpar, hvor divisorsummen i det ene tal er større end det andet tal OG vice versa (divisorsummen stadig undtaget tallet selv).

Lidt formelt beskrevet:

σ(n) > m

og

σ(m) > n

Det gælder f.eks. for talparret 48 og 75. Summen af 48’s divisorer er større end 75, OG summen af 75’s divisorer er større end 48.

De næste par quasi-amicable talpar er følgende:

(140, 195), (1050, 1925), (1575, 1648), (2024, 2295) og (5775, 6128).

 

I mit kommende aritmetiske arbejde med min 8.klasse vil jeg lade dem undersøge, hvordan forskellige tals divisorsum kan forholde sig – både ift. tallet selv, men også ift. andre tal. Herunder vil vi støde på alle ovenstående tal, talfamilier og talpar. Fantastisk!

En liste over taltyperne:

  • Aliquot sequencer
  • Amicable numbers (venskabstal)
  • Sociable numbers
  • Untouchable numbers
  • Perfekte tal
  • Deficient numbers
  • Quasi-amicable numbers (betrothed numbers)

 

Reklamer

Venskabstal

Hvordan er 220 og 284 connected med hinanden? De er VENNER! Talvenner eller “venskabstal”. Måske jeg lægger lidt mere i disse to tal end de fleste vil, men jeg er ret vild med tanken om, at deres venskabsrelation ikke lige afsløres ved første øjekast eller ved afsløringen af deres status som “talvenner”. Det er som om, de har en hemmelighed i, hvori deres venskab består. Man skal interessere sig for dem – både individuelt og indbyrdes – for at finde frem til deres relation; hvilket jeg har gjort noget tid for til sidst at finde venskabsbåndet mellem dem. Endnu engang fantastisk at finde det på egen hånd og ikke slå det op eller læse om det. Det er altid lækkert med en quest, en gåde, noget at tænke over, noget at arbejde med… fordi det er sjovt og udfordrende, ikke fordi man skal.

På engelsk kaldes 220 og 284 tilsammen “amicable numbers” (amigo=ven), på dansk “venskabstal”.

“Nøglen” til deres venskab ligger i deres divisorer og disses sum.

220 har divisorerne: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 (og 220, der ikke medregnes her)

og 284 har divisorerne: 1, 2, 4, 71, 142 (og 284, der ikke medregnes her)

Summen af 220’s divisorer er: 284

og summen af 284’s divisorer er: 220

Og heri består venskabet mellem de to tal, og det giver dem ret til at bære navnet venskabstal eller amicable numbers.

220 og 284 er det mindste sæt venskabstal, men der er andre. De 9 næste sæt er følgende:

(1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084) og (66928, 66992)

Men, der er nu noget særligt ved de(t) første i en talrække eller talfamilie, så for mig vil (220,284) altid være unikke venner, som jeg er glad for at være kommet ind på livet af.

Løsning: Fibonacci Quest med tværsummer

20.juli gav jeg en lille Fibonacci quest med hintet: Tværsummer.

Hvad har Fibonacci tallene 89, 377 og 17711 tilfælles, og hvorfor er det lidt flot?

Hvis man regner på tværsummen af tallene rammer man følgende:

89 = 8+9 = 17

377 = 3+7+7 = 17

17711 = 1+7+7+1+1 = 17

PRIMTAL!

Men tager man derefter disse tværsummers tværsum:

17 = 1+7 = 8

FIBONACCITAL!

Så 89, 377 og 17711 har altså det tilfælles, at deres tværsum er et primtal, og deres tværsums tværsum er et nyt Fibonaccital. Nice!

610 og 75025, der også er Fibonaccital har også primtal som tværsum, men derefter følger de ikke æstetikken ovenfor.

 

Ferie lidt endnu

23 dage til skolestart. Nogle synes nok det er alt for kort tid – kunne godt bruge mere ferie. Jeg nyder min ferie, men glæder mig helt vildt til at komme tilbage på arbejde. Jeg glæder mig til at planlægge de sidste ting, inden skoleåret skydes i gang. Glæder mig til at se mine kollegaer igen og drøfte alle de ting, som har rumsteret i mit hovede i sommerferien.
Jeg gik heldigvis på ferie med dels nogle gode, ulæste matematikbøger og to feriequester. Den ene quest har jeg løst, og systemet var faktisk rigtig fint til at arbejde med på mellemtrinnet ift. kryptering. Den anden quest bakser jeg stadig med 😊

Ellers er der også opgaver i mine bøger, det er ret cool. Denne bog giver mig kamp til stregen ift. forståelse af symbol- og formelsprog. Det kan jeg godt li 🤓
Og så leger jeg lidt med kort og kombinatorik, bl.a. chancen for at udtrække de 11 første Fibonaccital i rækkefølge:

Den er:
31.850.496 / 2,17E26 ~ 1,47E-17%
Hmmm, den skal jeg nok ikke sætte mine håb op efter 😬🙄

Fibonaccitaljagten #3

Først og fremmest: ENDELIG!

Jeg fandt en 377'er!!! 🙏🏻
Først kørte den forbi mig om eftermiddagen, mens jeg havde favnen fuld af varer – århhh hvor jeg ægrede mig! Men om aftenen holdt den så parkeret et sted, så jeg kunne add'e den til mig samling. Min mand spørger mig "Altså hvad skal du bruge det til?!" 😂🙈
Tror faktisk ikke jeg mangler nogle af de 16 mindste Fibonaccital nu – MEN! Der er rum for forbedring på mange af dem.

Kunne ikke dy mig med denne heller:

Damefodbold; 21 og 34. Lidt lækkert med to i rækkefølge. Og ja, jeg stod meget klar til at tage et billede, da sekunderne ramte 34 😂🙈
Jeg mangler en rigtig flot udgave af 89, har én i tankerne, men ved endnu ikke, om den vil imødekomme mig før jeg starter på arbejde igen…

Spændende talfamilier

I sommerens løb har jeg gjort mig flere tanker om, hvordan jeg kan udvikle min matematikundervisning i det kommende skoleår. Det ligger mig lige for at lave noget cool Geogebra stuff (og tro mig, det skal jeg nok også), men jeg kunne også godt tænke mig at udfordre og udforske, hvordan jeg ville arbejde mere klassisk.

Jeg er blevet inspireret til at ville arbejde mere grundlæggende med tallene og deres opbygning og algoritmer (aritmetikken) – det har fanget min interesse mere efterhånden, mens jeg alle dage har vidst, at det var en meget vigtig og fundamental del af matematikfaget.

Det der pt. optager mig meget indenfor dette felt er de forskellige talfamilier.

  • Kvadrattal
  • Kubiktal
  • Fibonaccital
  • Trekanttal
  • Enscifrede tal
  • Pallindromtal
  • Primtal
  • Fakultetstal
  • M.fl.

Der er noget smukt ved hver af dem.

Nogle af familierne kan beskrives med formler og funktioner af n, mens andre kun æstetisk har noget tilfælles – og dog…?

Jeg går i tanker omkring, hvordan et undervisningsforløb på mellemtrinnet kunne tage udgangspunkt i disse spændende talfamilier.

Det er klart, at der skal arbejdes med definitioner og sammenhænge. Der skal arbejdes med deres anvendelse. Men der skal også arbejdes med at præsentere dem visuelt. Primært ligger der et stort arbejde i, at beskrive deres opbygning og de særegne regneoperationer tallene kan indgå i.

Jeg ved jeg har en sublim sparring på netop dette område, så jeg glæder mig meget til at komme i gang med arbejdet 😊